BEGINNENDE GECIJFERDHEID; TUSSENDOELEN EN INTERVENTIES

Ordenend handelen

Oriëntatie in ruimte en lichaam

Oriëntatie in de tijd

Meten en meetkunde

Tellen

Bewerkingen

Cijferkennis

Deelgebied 1. Ordenend handelen

Tussendoelen

Kleuterklas

• Het kind kan aantallen vergelijken door middel van het leggen van één-éénrelaties
• Het kind kan een groep voorwerpen ordenen naar het meer of minder aanwezig zijn van één bepaalde eigenschap
• Het kind kan een groep voorwerpen ordenen op grond van een of ander gemeenschappelijk kenmerk
• Het kind beschouwt een hoeveelheid als hetzelfde, ongeacht zijn uiterlijke verschijningsvorm
• Het kind heeft notie van ordeningsbegrippen

Onderdelen van deze tussendoelen:

• correspondentie
• seriatie
• classificatie
• conservatie

1.1 Correspondentie

1.1.1 Uitleg

Kinderen leren aantallen vergelijken door middel van het leggen van één-één-verbindingen. Hiervoor hoeven ze nog geen notie te hebben van de hoeveelheid. Als er twintig eieren in een eierdopje staan, dan is het vanzelfsprekend dat er ook twintig eierdopjes zijn. Als er bij elk van de twintig bordjes een vork neer moet worden gelegd, dan is het niet nodig om de twintig vorken te tellen. Volwassenen wetten dat drie appels evenveel is als drie turfstreepjes of drie euro’s. Als een kind het correspondentieprincipe begrijpt, kan hij resultatief leren tellen. Om verder te gaan in het eerste voorbeeld: is er een ei meer, dan is dat in een oogopslag duidelijk.

Het is bij jonge leerlingen gebruikelijk om vaste aanduidingen te gebruiken. Het aantal vijf is voorstelbaar als 'de vingers van een hand'. We hebben hiermee dan vaste namen voor vaste aantallen. Dat heet de nominale aanduiding. De ordinale aanduiding geeft de ordening van deze nominale aanduidingen in oplopende hoeveelheid, zodat je een vergelijking kunt maken met een nieuwe hoeveelheid voorwerpen: er zijn meer, minder of evenveel knikkers als de vingers van mijn hand. Op het moment dat kinderen aantallen gaan vergelijken met een aantal dat ze kennen als nominale aanduiding, gebruiken ze hun correspondentiebegrip.

Bij welke activiteiten werken we aan dit tussendoel?

1.1.2 Kleuterklas

Overal waar we kinderen concrete dingen laten uitdelen, werken we aan het correspondentiebegrip. Bordjes op tafel zetten, zoveel als er kinderen zijn, is een veelvoorkomende ordeningsactiviteit. Schilderplanken klaarzetten, deeg uitdelen, rondgaan met het fruit (in ieder handje een partje), dagelijks wordt dit door de kinderen geoefend. Maar ook wanneer kinderen bij de bordspelen de sprongen tellen of wanneer ze opdrachtjes uitvoeren als: doe in elk mandje maar drie gele en drie rode stukjes bijenwas, is het begrip voor correspondentie noodzakelijk.

Alle bordspelen waarbij kinderen met een dobbelsteen gooien hoeveel stappen ze mogen verzetten, doen een appèl op het conservatiebegrip. HABA is een spelfabrikant met mooie bordspelen voor de kleinsten. Spelletjes met kleurendobbelstenen en met grote dobbelstenen met bijv. maar drie stippen. Het is een leuke toevoeging voor kleuters en kinderen die af en toe baat hebben bij ‘’geleid’’ spel met duidelijke spelregels en omgangsvormen. Een spelleider (juf of klassenassistent) is meestal wel nodig.

Een mooi klusje voor jongste kleuters; aan het eind van de opruimtijd zetten twee kleuters alle schoenen uit de gang in de klas, twee aan twee, zodat de kinderen in de klas zichzelf en elkaar met de schoenen kunnen helpen.

Wij zijn van mening dat kleuters niet zelfstandig hoeven te zijn maar wel zoveel mogelijk zelfredzaam. Dit stimuleer je door zoveel mogelijk handelingen door de kinderen zelf te laten verrichten. Het schilderen gaat met de hele groep. Het klaarleggen en -zetten kan

bijvoorbeeld gedaan worden door de juf met 4 oudste kleuters. Ze verdelen de waterpotten, het natte papier en de drie kleuren verf. De juf kan veel observeren: overzien ze de verdeling van papier /verf en waterpotten?

Voorbeeld uit de aantekeningen van een kleuterjuf Tafel dekken: We eten niet dagelijks aan tafel. Echter met de feesten wel, dat is toch al gauw een keer in de maand. Wij laten bij de jaarsfeesten de kleuters zelf de tafels dekken met alles erop en aan! Meestal met vier of zes kinderen. Als juf moet je het goed voorbereiden maar dan loopt het vanzelf. Bij het verdelen van servetten, eten, sap inschenken, kaarsjes op tafel enz. werken we aan veel tussendoelen voor het rekenen; de ordeningsbegrippen, het tellen, het maatgevoel.

Een voorbeeld uit de klas

Als begeleidster kom ik in veel kleuterklassen. Vandaag kom ik om naar Annika te kijken. De vraag is of zij leerrijp genoeg is om over drie maanden naar de eerste klas te gaan. De vraag is vooral of zij al over voldoende ordening beschikt. Niet alleen een vraag naar de taakgerichtheid, maar ook naar de rekenvoorwaarden, besluit ik. Annika mag alles zelfstandig uitzoeken. Annika huppelt de lege klas in en zegt:’Ik mag binnen blijven om de tafel te dekken en er zijn 19 kinderen, zegt juffie.’ Ze pakt er een stoel bij om uit het hoge aanrechtkastje boven het aanrecht een stapeltje borden te pakken. Zoveel als ze kan dragen met twee handen. Ze zet ze op het aanrecht, klimt van de stoel, pakt de stapel weer op en brengt die naar de tafels. Deelt uit. Bij elke stoel een bordje. Vier, telt ze dan, dit zijn er vier! Klimt weer op de stoel, pakt een volgend stapeltje uit het hoge kastje en telt elk bordje wat ze neerzet. Vijf! Overziet dan het geheel en vraagt aan mij:’’ Hoeveel had ik er ook alweer?’’ Ik zeg: Eerst had je er vier. Ze besluit af te zien van doortellen bij vier. Ik zie aan haar gebaren dat ze niet meer weet waar ze dan moet doortellen. Ze telt ze nog eens opnieuw, allemaal. Ze telt negen bordjes. Vraagt zich hardop af: hoeveel kinderen waren er ook alweer? Negen..nee, negentien, herinnert ze zich alweer. En welgemoed vervolgt zij haar taak. De tussenstand van het aantal bordjes op tafel telt ze goed maar onthouden is nog teveel gevraagd. Ze lost het op door elke keer opnieuw alles te tellen. Het geheel overziend ontdekt ze op een gegeven moment dat er 22 bordjes op tafel staan. Dat is niet goed. Ze weet dat het teveel is. Door tot 19 te tellen weet ze dat de rest ‘’over’’ is, die kunnen terug in de kast. Uit dit voorbeeld blijkt: Annika beschikt over correspondentie begrip. Ze kan aanwijzend tellen en resultatief tellen. Toch is dat resultaat nog niet een veelzeggende hoeveelheid voor haar, ze onthoudt het getal niet. Verkort tellen is daardoor nog niet mogelijk voor haar. En ook voor eenvoudig toegepaste bewerkingen als het optellen van de bordjes en het overschot aan bordjes van tafel halen heb je de innerlijke zekerheid van hoeveelheden nodig. En daarom begint ze telkens bij het eerste bordje (een beetje zuchtend maar uiteindelijk tevreden over het resultaat). Het was iets makkelijker voor haar geweest als de keuken in de klas zo was ingericht dat de bordjes binnen handbereik waren.

Kinderen die moeite hebben met het correspondentiebegrip worden het meest geholpen wanneer ze veel mogen uitdelen. Dat kan op school, maar ook thuis. Een vaste taak om de tafel te dekken bijvoorbeeld, kan een kind goed en op vanzelfsprekende wijze helpen in de ontwikkeling.

1.1.3 Eerste klas en tweede klas

Eenvoudige opdrachten als de tafel dekken met bij ieder kind een plankje en een beker is ook in de eerste klas nog een dagelijkse en goede oefening. Het uitdelen van diverse materialen komt dagelijks aan bod en is daarnaast een fundamenteel onderdeel van de lesstof. Aanvankelijk leren kinderen net als in de kleuterklas te ordenen aan opdrachten als ‘bij elk vel papier een penseel, een waterpot.’ Dat is concreet en in een oogopslag te zien. Opdrachten als ‘bij elk papier een geel, een blauw en een rood krijtje’, zijn al moeilijker omdat kinderen meer moeten onthouden. Nog moeilijker wordt het wanneer er ook nog bij geteld moet worden. In een eerste klas zie je bij zo’n opdracht kinderen nog regelmatig in de war raken. Bijvoorbeeld als er wordt gezegd dat ieder kind drie rode stroken krijgt en twee witte, ‘dus bij elke drie rode horen twee witte’. Realiseer je als leraar dat het belangrijk is voor de ontwikkeling van de kinderen om dit regelmatig uit te houden en dat je daarom niet even snel zelf alles uit moet delen.

Nog enkele andere ideeën:

• De kinderen een plaat van de herfst laten zien en hen vragen om alle blaadjes te tellen en deze ook te turven.
• Een tekening op het bord maken met ‘telgrapjes’ er in verborgen.

Een voorbeeld uit een klas

Op het bord staat een tekening van kinderen die feest vieren; een prachtige telplaat met allerlei telmogelijkheden. Op de tafel staan feestmutsen. Zijn er voldoende feestmutsen? Trek een lijntje voor wie welke muts is. Staan er genoeg bekers?

• Ordening uit laten spelen in kleine toneelstukjes. Het begin van Doornroosje met de twaalf feeën en de dertiende waar voor de tafel niet gedekt was, is natuurlijk een mooie aanleiding om een ordening uit te spelen, maar er zijn ook simpel zelf kleine voorbeeldjes te verzinnen.
• De kinderen in de rekenkist vier dezelfde voorwerpjes laten verzamelen (bijvoorbeeld kiezeltjes). In het volgende vakje mogen even zovele andere voorwerpjes verzameld worden.
• Eenvoudige opdrachten als: Elke jongen neemt een meisje in de hand.

Ook aan spelvormen kunnen kinderen het correspondentiebegrip oefenen:

• Stoelendans.
• Memoryspel

• Bordspelen Elk bordspel kan een correspondentieoefening zijn; je moet het aantal ogen van de dobbelsteen tellen en vervolgens evenveel stappen zetten.

1.2 Seriatie (ordenen naar eigenschap)

1.2.1 Uitleg

Bij seriëren gaat het om ordenen naar het meer of minder aanwezig zijn van één bepaalde eigenschap (onder afzien van andere eigenschappen). Kinderen die poppen op het bankje van groot naar klein leggen of blokken ordenen van dik naar dun of hun potloden ordenen van kort naar langer zijn bezig met seriëren. Het gaat hier om het kunnen maken van een volgorde, een opbouw. Hierbij worden begrippen gebruikt die de relatie tussen de voorwerpen onderling aanduiden zoals: groter en kleiner, langer korter, enz. Bij dit tussendoel is sprake van een grote verwantschap met de taalontwikkeling en de woordenschat. Toch wordt dit begrip onder de rekenontwikkeling geschaard, omdat het handelen eerder ontstaat dan het benoemen ervan. Door het te doen leren kinderen het begrippenkader kennen waarmee de kwaliteiten van deze ordeningen verwoord worden. Er ontstaat notie en begrip voor het 'relatieve' in begrippen als meer en minder, korter en langer:

• afstand: dichtbij, veraf.
• eigenschap: lang, langer, langst, kort, korter, kortst groot, groter, grootst, klein, kleiner, kleinst, hoog, hoger, hoogst, laag, lager, laagst, breed, breder, breedst, diep, dieper, diepst gelijk, ongelijk, zelfde dik, dikker, dikst, smal, smaller, smalst, enz.
• plaats: voor(aan), midden(in), achter(aan), boven(aan), onder(aan), naast, tussen,tegenover.
• rang: eerste, tweede, derde, vierde, vijfde, middelste, volgende, laatste.
• richting: links, rechts, boven, onder.

Daarbij vormt zich ook een intuïtieve notie van overdraagbaarheid; als het rode steentje zwaarder is dan het witte, is het ook zwaarder dan het bruine waarvan al vastgesteld werd dat het lichter was dan het witte.

Bij welke activiteiten werken we aan dit tussendoel?

1.2.2 Kleuterklas

De kinderen kunnen allerlei objecten vergelijken en ordenen op lengte. Rijen flesjes, torens van blokken, doosjes die in elkaar passen (Ikea heeft ze goedkoop en in leuke kleuren) en de beroemde Russische matroesjkapoppen zijn favoriete materialen om gevoel te krijgen voor seriëren. Ze kunnen daarbij beschrijvingen gebruiken als groter, kleiner, maar ook specifiekere aanduidingen als langer-korter, dikker-dunner, breder-smaller. Al naar gelang de taalvaardigheid van het kind en de inzet van de kleuterjuf worden deze begrippen met sommige kinderen bewust geoefend. In spontaan spel, zoals het vrijespel, is deze vaardigheid tot ordenen bij veel kinderen veelvuldig te observeren. Soms in bijzondere verschijningsvormen: een klas is in het rijke bezit van een heleboel flanellen lappen in alle kleuren van de regenboog. Bij het opruimen worden die opgevouwen en een oudste kleuters legt ze precies op volgorde; van licht naar donkergeel en van oranje naar rood naar paars… Dit is seriëren op kleurvolgorde.

Materiaal lokt rekentaal uit zoals een kleine waterpas bij de timmertafel, die uitnodigt tot meten: ‘groter’ of ‘kleiner’ of ‘tot in het midden van de waterpas’ hoor je ze tegen elkaar zeggen.

Kinderen die moeite hebben met ordenen op eigenschap kunnen geholpen worden bij opruimtaken waarbij deze vaardigheid nodig is; de doosjes die in elkaar gepast moeten worden, de planken waarbij de grootste achteraan moeten staan en de kleinste vooraan, lappen die van groot naar klein op de plank moeten worden opgeborgen.

1.2.3 Eerste klas en tweede klas

In de eerste en tweede klas kunnen leraren kinderen rondom allerlei thema’s laten seriëren.

• ‘Ga op de goede volgorde staan: van groot naar klein’, zegt een leraar. De kinderen moeten op dat moment gaan meten en zoeken de grootste in de klas en de kleinste. Vaak is er dan een kind dat spontaan de regie neemt. In de loop van het jaar kan de leraar een specifiek kind ook deze opdracht geven. Andere voorbeelden van opdrachten: Wie is het eerst jarig en wie het laatst? Ga eens op volgorde van verjaardag staan.Leg je potloden eens op volgorde van veel gebruikt naar weinig gebruikt. Orden de boomstammen achter in de klas van dik naar dun.

Een voorbeeld uit de klas

Een meester zet zijn klas aan het werk: ‘We hebben nu alle kleuren kralen bij elkaar gezocht. Hoeveel zijn er van al die kralen geteld?’ Er wordt klassikaal geïnventariseerd: 25 rode, 33 gele, 12 blauwe, 5 groene 70 witte 13 paarse en 34 bruine worden er geteld. Dan zegt meester: ‘Leg ze eens op de goede volgorde. Eerst het grootste groepje. Tenslotte het kleinste. Dus van veel naar weinig.’ De kinderen gaan aan de gang en leggen de kralen in volgorde neer.

• Er zijn nog vele andere werkwijzen denkbaar, waarin de leraar een ordening heeft gemaakt en de kinderen laat zoeken naar het kenmerk. Hij heeft bijvoorbeeld de schilderingen aan een lijn gehangen van donker (kleurgebruik) naar licht. ‘We hebben gisteren geschilderd en ik heb alle schilderingen opgehangen en er zit een raadsel in, zien jullie wat ik heb gedaan?’

Zo kan er tijdens de rekenlessen maar zeker ook in andere lessen gewerkt worden aan het seriëren.

Een voorbeeld uit de klas

Meester: ‘Kinderen, op het bord staat een reeks getekend. Waarom heb ik ze zo getekend? Welk raadsel zit hier achter verborgen?’ De kinderen kijken en Karel zegt: ‘Meester, het zijn allemaal sterren’. ‘Dat klopt Karel, maar kijk eens wat gebeurt er met die sterren en welke hoort er dan niet in thuis?’ Karel kijkt, knijpt zijn ogen wat dicht en zegt: ‘Ik denk dat er steeds een punt bij komt en die laatste hoort er niet bij omdat er dan ineens drie punten bij komen’.

De gehele klas kijkt en knikt instemmend.

In een wat later stadium worden cijferreeksen op het bord gezet die ook een raadsel met zich meedragen. Welk raadsel zit bijvoorbeeld verborgen in deze cijferreeks:

2 4 6 8 10 12 En welke hierin? 1 3 6 10 15

1.3 Classificatie

1.3.1 Uitleg

Voordat sprake kan zijn van hoeveelheidsbegrip moeten de kinderen eerst weten wat een hoeveelheid voorstelt en hoe die gevormd kan worden. Het middel hiertoe is het leren ordenen op grond van een of ander gemeenschappelijk kenmerk. Zo kan er bijvoorbeeld uit een mand met voorwerpen een groepje met ronde dingen gezocht worden. Een kind moet voorwerpen kunnen ordenen op grond van hun onderlinge overeenkomsten: kleur, vorm, dikte en grootte. Of knikkers, poppen en ballen zijn speelgoed. Sorteren en classificeren, dus het logisch ordenen in groepen op basis van één of meer gemeenschappelijke kenmerken, liggen in elkaars verlengde. Deze vorm van ordenen kan eenvoudig zijn (alle ballen in de rieten mand), maar het kan ook een complexe aangelegenheid zijn wanneer het gebeurt naar meer dan één kenmerk (alle lange naalden met een groot oog moeten in het blikje). In de wiskunde spreekt men dan van 'één-één relaties', en van 'deel-geheel verzamelingen', begrippen die expliciet voor de jongere kinderen nog geen rol spelen, maar wel impliciet worden aangelegd. Naast het feit dat het vermogen tot classificeren een rekenvoorwaarde is, is het tevens een denkvermogen dat een jong kind ontwikkelt. Bij de taalontwikkeling zijn dezelfde begrippen bekend als de cognitieve taalfuncties (Hoogeveen e.a., 2005). Het is de ordening van een werkelijkheid, die in principe is te kwalificeren en waar je logische handelingen mee kunt doen. Het kunnen ordenen van de realiteit met behulp van classificerende denkhandelingen is een belangrijke fase in het leren denken. Zolang een kind niet kan indelen in groepjes met een bepaald kenmerk kan er moeilijk overgestapt worden naar abstracte aspecten zoals het aantal-aspect. De kinderen leren deze vaardigheid aan vanuit de natuurlijke, dagelijkse omgeving waarbij het classificeren een concrete betekenis heeft, waarbij het zin heeft en waarbij de handeling van het jonge kind direct gevraagd wordt; ‘doe alle gele krijtjes in het gele doosje, dan weten we ze morgen weer te vinden.’ Het classificeren vraagt een mentale rijping waarbij het voor een kind mogelijk moet zijn eenzelfde opdracht soms met complexe combinaties van kenmerken uit te voeren. Hoe meer criteria je tegelijkertijd moet hanteren, hoe moeilijker het wordt. Rode dingen verzamelen is gemakkelijker dan metalen dingen. Dingen verzamelen die je op kunt eten is gemakkelijker dan dingen verzamelen waarmee je kunt eten. Vandaar dat het classificeren op meer dan twee kenmerken wordt gezien als een vaardigheid die pas bij oudere kleuters aan te spreken is.

Bij welke activiteiten werken we aan dit tussendoel?

1.3.2 Kleuterklas

In de kleuterklas is het opruimen na het vrije spel het moment waarop alle kinderen aan het ordenen zijn. Ze sorteren de spullen; de blokjes met kleur in het ene mandje, de houten dieren in het andere. Soort bij soort horen de verschillende stenen in de kast, de ballen in de mandjes, de zandzakjes in weer een andere mand. Voor kleuterleidsters is bij het opruimen goed te observeren welke kinderen hiermee moeite hebben. Opruimen in de kleuterklas is een essentieel onderdeel van het vrije spel. Het is belangrijk om daar tijd voor te nemen. De jongste kinderen bootsen de oudere kleuters daarin na. Dat kan gestimuleerd worden door een jong en een ouder kind te koppelen en ze te laten samenwerken bij een opruimtaak. In sommige kleuterklassen schillen de kinderen het fruit en heeft een kind de taak om het fruit ‘mooi neer te leggen’. Vaak ordenen kinderen dan naar soort; appelpartjes bij elkaar, sinaasappels op een ander gedeelte. Hierin kan een juf natuurlijk ook een sturende opdracht geven aan een kind dat moeite heeft met classificeren: ‘wil jij vandaag de schaal mooi maken? Het fruit moet vandaag soort bij soort.’ Zo’n kleine interventie kan een tijdlang een expliciete taak worden voor een kind.

In veel kleuterklassen wordt er in spelvorm geclassificeerd bij de overgangen. Kleuterleidsters geven dan opdrachten als ‘alle kinderen met rode sokken mogen hun tasje halen.’ Dit kan zo moeilijk mogelijk worden gemaakt; knopen, klittenband, ritsen, tot en met de dingen die ze elkaar moeten vragen omdat ze dat vaak nog niet weten ‘bruine ogen, sproeten, langer dan Pieter’ enz. Altijd weer ontdekken ze dan: ‘Hé, ik ben al geweest, ik had rode sokken maar ik heb ook klittenband schoenen!’

Gezien in een kleuterklas

Een blad met kleine mandjes die samen een geheel vormen (net als een fonduebord). In elk mandje liggen krijtjes van een kleur. Wie wil tekenen pakt een houten bakje en vult dat met uit elk mandje een krijtje; van elke kleur een. Bij het opruimen moeten de kinderen alles weer sorteren, kleur bij kleur.

1.3.3 Eerste klas en tweede klas

Classificeren

In de eerste klas kunnen allerlei activiteiten georganiseerd worden waarin de kinderen gestimuleerd worden om het classificeren te blijven oefenen. We geven een aantal voorbeelden. Het is niet moeilijk om aan de hand van genoemde voorbeelden nieuwe originele oefeningen te bedenken.

• We laten de kinderen een bak met kralen ordenen op basis van twee kenmerken; de ronde kralen in de ene mand en de vierkante in de andere mand.
• Kinderen ordenen op geboortemaand. (liedje ‘wie in februari geboren is sta op’)
• Op het bord staat een mooie herfsttekening; sommige blaadjes hangen nog groen aan de bomen andere liggen bruin op de grond. De kinderen tellen beide groepen: de gevallen bruine blaadjes en de nog hangende groene.
• Meester heeft een ontdektekening voor de kinderen gemaakt en gekopieerd voor iedereen. Het is een tekening van twee kinderen die aan het bouwen zijn met allerlei blokken. Hij laat de kinderen tellen hoeveel kleine, zwarte, driehoekige blokken te vinden zijn. Hij laat de kinderen vervolgens raadsels (op ordening) bedenken.
• Er zijn gezelschapsspelen die werken vanuit het principe van het classificeren Wie is de dader? Kinderen kiezen een boef en hebben daar een plaatje van. De andere heeft alle plaatjes van de potentiële boeven voor zich en mag vragen stellen: Is het een man enz, net zo lang tot hij zeker weet wie de boef is.
• Voor in de rekenkist mogen de kinderen 20 voorwerpjes van thuis meenemen. Klein, zodat ze in de kist passen. Op basis van de aanwezige voorwerpen geeft de leraar opdrachten. Haal alles uit de kist dat rond is enz...

Een voorbeeld uit de klas

De kinderen zitten in groepjes. Ieder groepje heeft een eigen mand met verschillende kralen. De leraar geeft ieder groepje een andere opdracht:

• Het eerste groepje telt alle ronde kralen
• Het tweede groepje kijkt of er meer rode blokjes zijn dan gele ronde
• Het derde groepje zoekt uit hoeveel kleine ronde rode kralen blijven er over als er bij

elk klein rond rood kraaltje een groot groen blokje gelegd wordt. De mandjes en hun opdrachten rouleren en de uitkomsten worden door de verschillende groepjes later met elkaar vergeleken.

Wat later kunnen we ook getalreeksen gaan gebruiken voor het classificeren Enkele voorbeelden :

• Er staan 15 getallen op het bord en de kinderen ordenen op getallen boven de 20 en getallen onder de 20.
• Er staan allerlei getallen op het bord en de leraar vraagt aan de kinderen welke getallen in de rij van 4 zitten (of deelbaar zijn door 4) Vervolgens wordt er aan de kinderen gevraagd welke getallen in de rij van 3 en de rij van 4 zitten
• Zo kan er ook gekeken worden welke hoeveelheden in gelijke groepjes verdeeld kunnen worden. Vergeet daarbij niet in eerste instantie aan te geven over hoeveel groepjes het gaat. Bijvoorbeeld: Op het bord staan de volgende getallen 5 7 9 12 15 10 20 19 Welke getallen zijn in twee gelijke groepen te verdelen?

Ten derde zijn er ook opdrachten waarbij kinderen met een bepaald kenmerk iets mogen uitvoeren zijn. Ook deze zijn te beschouwen als classificatieoefeningen:

• Alle kinderen met bruine schoenen mogen opstaan, alle kinderen die zwarte schoenen aan hebben met veters mogen gaan staan. De kinderen vinden het leuk om zelf ook dergelijke opdrachten te bedenken.
• Later worden dergelijke opdrachten steeds meer gecombineerd met andere rekenvaardigheden. Bijvoorbeeld: als kinderen uit een rij getallen van één tot dertig alle getallen uit de tafel van tien, vijf of drie moeten zoeken bijvoorbeeld zijn ze nog steeds bezig met classificeren.

1.4. Conservatie

1.4.1 Uitleg

Een hoeveelheid blijft hetzelfde, ongeacht zijn uiterlijke verschijningsvorm. Essentieel bij het conserveren is het inzicht dat je de uiterlijke vorm kunt veranderen zonder dat de hoeveelheid hoeft te veranderen. Een bolletje brooddeeg kan uitgerold worden tot een lange sliert, in een vorm gekneed of tot een bol worden gevormd. De vorm verandert, de hoeveelheid blijft. Wanneer iets er anders uitziet, is de kans groot dat jonge kinderen hun mening niet vasthouden (conserveren). Het essentiële wordt nog onvoldoende vastgehouden, de waarneming misleidt de kinderen. Bij dit gebrek aan vastheid in het denken hebben de kinderen nog geen weet van conservatie, of beschikken ze nog niet over constantiebegrip.

• Als je twee balletjes klei laat zien die even groot zijn, zal het kind zien dat ze even groot zijn en daaraan de conclusie verbinden dat ze beiden van evenveel klei gemaakt zijn. Maar als je van één balletje dan een pannenkoekje maakt, denkt het kind dat de bal meer klei heeft. Hij ziet niet dat de wijdte compenseert. Dunner is minder, het gaat af op een aspect van wat het waargenomen heeft.
• Als water uit een breed glas overgegoten wordt in een smal, lijkt de hoeveelheid toe te nemen. Hoger is meer! Kinderen kunnen nog niet afzien ('abstraheren') van irrelevante kenmerken, in dit geval de breedte van de glazen.
• Als een rij appels dichter bij elkaar wordt gelegd, verandert voor een jong kind de hoeveelheid (dichtbij elkaar is minder).

De constantiebegrippen of constanties vormen zich geleidelijk in de loop van jaren en op basis van vele concrete ervaringen. Ze vragen ook om een zekere mentale rijping, waarbij relevante informatie gescheiden wordt van niet ter zake doende factoren. Conservatie is ook een voorwaarde bij het globaal bepalen van hoeveelheden, 'Waar ligt meer of is er evenveel?' Voor kinderen is hoeveelheid een verwarrend begrip dat lang gebonden blijft aan de context waarin het verschijnt Bij welke activiteiten werken we aan dit tussendoel?

1.4.2 Kleuterklas

Het accent bij dit tussendoel ligt in de kleuterjaren op de beleving. Meestal zijn kleuters tegen de schoolrijpheid in staat om na te denken over de hoeveelheid zonder zich te laten (mis)leiden door de vorm.

• graan van de bak in de molen; afpassen met maatbeker
• eerlijk verdelen van de appelmoes of zelfgemaakte jam in de meegebrachte potjes van verschillend formaat
• deeg kneden en ervaren dat dezelfde hoeveelheid er langer, platter e.d. kan uitzien
• watertafel en zandtafel met eenvoudige maten als kopje en beker of lepel
• de lange dunne draad wordt bij het indraaien een dikke korte draad

De kinderen kunnen inhouden zowel in de betekenis van wat er in zit als wat er in kan op verschillende manieren vergelijken; op het oog, via in elkaar overgieten en door afpassen of uitscheppen met eenvoudige natuurlijke maten als kopje, beker of lepel. Verder verkennen ze hoe er met een zelf geconstrueerde kopjesmaatbeker gemeten kan worden. ‘Het spreekt vanzelf dat vraagstukken over de vraag waar meer in kan of waar meer in zit, in een zinvolle context aan de kinderen voorgelegd moet worden. Dat kan door ze te laten kiezen. Welke beker zou jij nemen? Indirect is dit de vraag naar de hoeveelheid.’ Je vraagt het kind naar de constante hoeveelheid terwijl de vorm waarin die hoeveelheid te zien is verandert (Tal- team, 1999).

1.4.3 Eerste klas en tweede klas

Net als bij de voorgaande ordeningsbegrippen sluiten de ontwikkeling en de interventies hier naadloos aan op de kleuterklas. Nog steeds ligt het accent op de beleving. De opdrachten kunnen steeds meer gecombineerd worden met vragen naar andere rekenvaardigheden. We geven enkele voorbeelden van oefeningen in de eerste en tweede klas waarmee aan het conservatiebegrip gewerkt wordt:

• De kinderen krijgen een groepje kastanjes (allemaal bijvoorbeeld 24). De leraar vraagt hen om de kastanjes zo neer te leggen dat ze goed geteld kunnen worden. Het ene kind legt ze naast elkaar, een ander ver uit elkaar (dat immers gemakkelijk) een ander brengt structuren aan van 2 of 4, 5. Al deze vormen, hoe ze ook liggen hebben 24 kastanjes. De hoeveelheid blijft gelijk, ook als de vorm er heel anders uitziet. De leerkracht legt ze in een andere vorm en vraagt:‘Waar liggen er nu meer?’ De meeste kinderen zullen direct doorzien dat het een strikvraag is, een enkeling heeft er nog moeite mee en laat zich nog afleiden door de waarneming.
• De kinderen staan in de zaal. De leraar vraagt hen om acht stappen vooruit te lopen. Het ene kind komt een heel end vooruit, de ander maar een klein stukje.
• Oefeningen op de getallenlijn.

In eerste instantie die getallenlijn in punten dicht op elkaar leggen: