BEGINNENDE GECIJFERDHEID; TUSSENDOELEN EN INTERVENTIES

Ordenend handelen

Oriëntatie in ruimte en lichaam

Oriëntatie in de tijd

Meten en meetkunde

Tellen

Bewerkingen

Cijferkennis

 

Deelgebied 6. Bewerkingen

Tussendoelen

Kleuterklas Kinderen kunnen een kleine hoeveelheid verdelen.

Klas 1 en 2

• In klas 1 kunnen de kinderen aanvullen tot 10; zij herkennen de splitsingen en gebruiken de vijfstructuur in relatie tot het (dynamisch) rekenrek.
• In klas 2 leren de kinderen ordenen en structureren onder de 100 als basis voor handig rekenen met de nadruk op groepen
• In de eerste klas kunnen de leerlingen vlot optellen en aftrekken onder de 10 (erbij, eraf, samen en verschil) waarna uitbreiding (met behulp van b.v rekenrek) tot en met 20 (25) volgt.
• Uitbreiding in klas 2 tot 100, waarbij ook de grote telrij wordt benut (10, 20, 30,…).
• De kinderen kunnen sommen handelend oplossen en ‘verbeelden’. Zij gebruiken ook pijlentaal en de bewerkingstekens + - x : =.
• De leerlingen kunnen een niet in reken- wiskundige taal gesteld probleem in reken-wiskundige termen omzetten en oplossen.
• De leerlingen kunnen verwoorden hoe ze een rekenprobleem opgelost hebben.
• De leerlingen kennen de tafels van vermenigvuldiging. Klas 1: tafels 1-2-10 (tot 12x) Klas 2: tafels 1-2-10-5-3-4- (tot 10x).

6.1 Uitleg

Bewerkingen zijn de actieve handelingen die verricht worden bij het rekenen; optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Een begrip van bewerkingen ontstaat bij jonge kinderen vanuit het directe handelen ‘Geef ieder maar een handje met rozijnen’. Nadat Johan ieder een handje gegeven heeft zit het mandje nog half vol: ‘Zal ik nog een keer rond gaan?’ vraagt hij aan juf. Begrippen als: veel, meer, meest, weinig, minder, minst, geen, helft, genoeg, komen hier vanuit het beleven in het bewustzijn van het kind. Vanuit het verdelen van hoeveelheden ontstaan bewerkingsbegrippen: ‘Peter, Johan wil ook blokken gebruiken. Willen jullie ze samen even verdelen?’ Vanuit het ‘matchen’worden de blokken verdeeld en kinderen ontdekken begrippen als: gelijk opdelen, twee even grote stapels, een te veel of een meer, enz. Bewerkingen op zich worden ook duidelijk aan het directe handelen. Sarah legt kaplablokjes om haar toren: ’Kijk eens hij is bijna rond ik heb er nog een paar te kort mag ik er een paar van jou.’ Erik geeft vijf kaplablokjes uit zijn mandje weg. In de onderbouw wordt dit handelen in het bewustzijn gebracht. Dit verloopt nog steeds via concrete materialen. ‘Kinderen verdeel die 12 kastanjes eens in twee groepen.’ ‘Hoe heb jij dat gedaan Sofie?’ ‘Ik heb die twaalf verdeeld in twee groepjes van 6.’ ‘En jij Pieter?’ ‘Ik heb ze verdeeld in een groepje van 4 en een van 8 !’ Vanuit het verwoorden van de handelingen worden bewerkingen bewust gemaakt. Laat de kinderen in omgang met concreet materiaal vertrouwd raken met de rekenhandelingen als verdelen, overhouden, samenvoegen, meten, wegen en vergelijken (Van Erp,1986). Als er begrip ontstaan is voor de bewerkingen worden de rekensymbolen toegevoegd. Voordat de symbolen worden geïntroduceerd moeten de kinderen de handelingen hebben verricht, zodat hen duidelijk wordt wat deze symbolen inhouden. Het is dan ook belangrijk dat de kinderen een realistische situatie leren omzetten naar formele schrijfwijze. Maar ook andersom is het belangrijk dat kinderen een opgeschreven som in een realistische context kunnen plaatsen.

 

Bij welke activiteiten werken we aan dit tussendoel?

6.2 Kleuterklas

In de kleuterklas wordt niet bewust gewerkt aan bewerkingen. In alle hiervoor beschreven voorbeelden zitten wel bewerkingen verborgen (bijvoorbeeld bij het simpele uitdelen komen alle rekenbewerkingen aan bod: delen, vermenigvuldigen, optellen en aftrekken). Er wordt geen nadruk op gelegd en er wordt niet over gesproken in de kleutertijd.

6.3 Eerste klas en tweede klas

6.3.1 Optellen en aftrekken

Het splitsen van getallen

Op allerlei manieren kan het splitsen van getallen geoefend worden; door kastanjes te laten verdelen, door kinderen in groepen op te (laten) delen, door te tekenen wat er verdeeld moest worden. Het is goed als kinderen daarbij zelf leren te noteren wat ze gedaan hebben. Aanvankelijk zal dat al tekenend zijn, later leren ze de meer formele rekentekens kennen en kunnen ze die gebruiken.

Deze oefening kan ook op een rekenrek worden uitgevoerd. De kinderen raken op deze manier ook vertrouwd met het rekenrek.

Werken met hoeveelheden die het kind niet kan zien.

• In dit doosje zitten 8 kralen. Ik haal er drie uit hoeveel zitten er nog in?
• Op het bord staan 8 kastanjes getekend. De leraar houdt een kaartje voor de kastanjes zodat er bijvoorbeeld nog maar drie te zien zijn. Hoeveel zijn er verborgen?
• Een busverhaal maken met kinderen. In de bus zitten acht mensen. Die stappen er uit, hoeveel blijven er nog zitten?
• Flitskaarten maken, bijvoorbeeld een kaartje van 18. Het kaartje wordt omhoog gehouden en kinderen noemen het getal dat nodig is om aan te vullen tot 20.

• Werkend met de staafjes uit de rekenkist kunnen er allerlei splitsingen geoefend worden. 8= 4 en 4 8= 5 en 3 8=10 min 2

• Het is belangrijk dat de kinderen de kwaliteit van de bewerkingen ervaren. Laat daarom steeds weer een verhaal maken bij een kale som. Zodat inhoud en bewerking daaraan duidelijk worden. Maar ook omgekeerd: Laat de kinderen een verhaal zover omvormen dat het een kale som wordt. Daarbij kunnen alle vier de hoofdbewerkingen aan de orde komen.
• Altijd wanneer een leraar kinderen een rekenvraag stelt vraagt hij naar de ‘actieve’. In Rekenen in beweging (1994) worden dat de vier hoofdvragen genoemd die bij de vier basisbewerkingen horen: Wat moet ik bij 3 tellen om 5 te krijgen. (2 is het actieve getal, het getal waar iets mee wordt gedaan) Wat moet ik van 9 aftrekken om 7 te krijgen? Waar moet ik 4 mee vermenigvuldigen om 20 te krijgen? Waar moet ik 10 door delen om 2 te krijgen?
• Het kind moet zich hier in de handeling inleven. Dit kun je op drie niveaus laten doen.
• Uit laten voeren met concrete materialen, te laten zien op bijvoorbeeld de getallenlijn of met materialen uit de rekenkist.
• Schematisch weergeven op bijvoorbeeld de getallenlijn.
• Symbolisch; uitsluitend met getallen en bewerkingstekens.

Het is zinvol om het hoofdstuk: ‘Van tellen naar rekenen’ uit ‘Rekenen in beweging’ goed door te lezen. Daarin wordt nog eens nauwgezet gekeken naar de mogelijke fouten die kinderen kunnen maken in het gebruik van de vier bewerkingen.

De rekenkist

De rekenkist heeft verschillende materialen die het mogelijk maken het rekenen al handelend uit te voeren op verschillende niveaus.

• In de rekenkist zitten houten staafjes die twee kleuren hebben; bruin en blank. Optellen kun je hier op verschillende manieren mee doen. Zet 3 staafjes neer en zet daar nu 5 staafjes bij. Hoeveel staafjes staan er nu?

Naast optellen, kunnen kinderen met dit materiaal ook goed leren aftrekken.

Bijvoorbeeld: De kinderen zetten 9 staafjes op. De vraag is dan: ‘Hoeveel staafjes moet ik omdraaien zodat er nog 3 staafjes overeind staan?’ Kinderen draaien vervolgens 6 staafjes om.

• Het rekenrek. We geven hier een enkel voorbeeld. Het rekenrek bestaat uit twee rijen kralen onder elkaar. Beide rijen bevatten 5 witte en 5 rode kralen. Het rekenrek gaar dus duidelijk uit van de 5-structuur. (Ook de rekenkist bevat materialen die het mogelijk maken op de deksel van de doos een rekenrek te creëren).
• Splitsingen onder de 10 kunnen de kinderen in klas 1 (groep 3) op diverse manieren leren; met de rekenstaafjes in de gaatjes, met losse materialen, op het rekenrek en al tekenend. Kinderen leren het splitsen meestal automatisch en vanuit de handelingen. Bijvoorbeeld wanneer een leraar de kinderen vraagt er 8 opzij te zetten op het rekenrek, zullen de meeste kinderen 5 ineens verplaatsen en vervolgens de resterende 3 erbij. Ze weten al dat 8 gelijk is aan 5 en 3.

 

Voorbeeld:

De opdracht 8+7 wordt gegeven. De leraar gaat er van uit dat 8 en 7 vlot gemaakt kunnen worden op het rekenrekje. De kinderen hebben geleerd dat 8 gelijk is aan 5 + 3 en dat je 7 makkelijk kunt zien als 5 + 2.

In dit geval kunnen kinderen de som herkennen als het dubbele van 7 + 1, of het dubbele van 8 - 1

Ze kunnen dezelfde som ook oplossen door gebruik te maken van de strategie ‘aanvullen tot de 10’. De 3 witte kralen van het getal 8 en de 2 witte kralen van het getal 7, vormen samen weer een heel 5-tal.

Zo zijn er verschillende strategieën die we in het werken met rekenrek kunnen tonen. Deze staan beschreven in de beschrijving van de rekenkist in hoofdstuk 3. Een handig hulpmiddel voor de leraar in het leren herkennen van de diverse strategieën die kinderen kunnen hanteren bij het rekenen is de strategiekaart, die we als bijlage 5 hebben opgenomen.

• Het 20s-noer en het 100-snoer Bewerkingen kunnen op het 20-snoer zichtbaar gemaakt worden. Doordat je dit snoer ook nog eens opbouwt in twee keer 5 witte en 5 rode kralen kunnen kinderen de opgave vanuit de 5 structuur aanpakken. Vervolgens wordt het eerste getal als vast gegeven genomen (rijgstructuur) en het andere getal wordt toegevoegd. De afgebeelde som 8 + 6 wordt door de kinderen gemaakt als: 8 + 2 + 4, waarbij ze door de structuur van het snoer zien dat de uitkomst hetzelfde is als 10 + 4 Zo schrijven sommige kinderen deze opgave in hun schrift.

Het 100-snoer Het gebruik van het 100 snoer kan leiden tot het gebruik maken van het model van de open getallenlijn die ook in de tweede klas is in te voeren voor het gebied van het rekenen tot 100. Bekende rekenvaardigheden die in het gebied tot de 20 verworven zijn worden hier door de kinderen ingezet. Bijvoorbeeld 13+6=19……………43+6=49 Een voorbeeld van het werken met het 100-snoer. (De knijpertjes die ook in de rekenkist te vinden zijn kunnen gebruikt worden als markeringspunten) De opgave is hier 23 + 36:

Er zijn verschillende mogelijkheden om tot de oplossing te komen. We adviseren daarin de rijgmethode en vervolgens het bijtellen in stappen van 10. (Daarvoor moeten de kinderen de tiensprong vanuit verschillende uitgangsgetallen uitputtend oefenen 23 – 33 – 43 – 53 enz) Aanwijzend kunnen de kinderen verwoorden (en later tekenen) wat ze gedaan hebben.

Andere bewerkingen kunnen we op dezelfde manier op het kralensnoer zichtbaar maken.

• Open getallenlijn. Bovenstaande bewerkingen kunnen ook op de open getallenlijn worden uitgewerkt. We nemen bovenstaand voorbeeld van het 100-snoer

 

 

Op deze getallenlijn gaan de kinderen staan en bewegen wat hier is getekend. Vervolgens worden de stappen getekend. De notatie wordt verkort en uiteindelijk als som opgeschreven: 23 + 36 = 59

In haar boek : ‘Met sprongen vooruit’ (2001) beschrijft J. Menne de stappen die hierin te nemen zijn. In bovenstaand voorbeeld wordt uitgegaan van de rijgstrategie die door verschillende kinderen op een eigen manier kan worden uitgevoerd al naar gelang mogelijkheden. (zie bijvoorbeeld b en c in de illustratie)

• Strategie Naast de rijgstrategie kennen we ook de splitsstrategie en de variastrategie. Kinderen kunnen deze strategieën wellicht inzetten. Voor kinderen die moeite hebben met het rekenen is het werken met de rijgstrategie een goede werkwijze. Zij vinden houvast in het steeds hanteren van dezelfde strategie. In het boek van Menne wordt duidelijk ingegaan op de verschillende strategieën. Ook handleidingen van methodes kunnen een beeld geven van de verschillende strategieën.
• Oefenmateriaal Leraren kunnen zelf materialen samenstellen of maken om de kinderen te laten oefenen. Bijvoorbeeld een aantal plus/min velden. Deze velden kunnen opgezet worden zoals een leerkracht dat wenst: Vanuit het niveau van de kinderen Vanuit de gewenste vaardigheid Om rekenfeiten te oefenen, enz
• Het maken en werken met magische vierkanten.
• Het werken met cijferreeksen: Wat is hier gebeurd? Wat moet het volgende getal zijn?

3……8…….13……..18……??

Het maken van sommen vanuit een uitkomst. Kinderen kunnen er op eigen niveau op insteken. Het kind doet wat het kan. In eerste instantie alleen met optellen, vervolgens uitbreiden totdat alle bewerkingen gebruikt kunnen worden

In het boek: ‘Hoofdrekenen een hoofdzaak’ uitgeverij Zwijsen zijn allerlei ideeën te

vinden die kunnen inspireren tot het ontwerpen van materialen.

Het gebruik van handelingswijzers kan kinderen ondersteunen in het herhaald uitvoeren van dezelfde rekenprocedures zodat de werkwijze op den duur eigen wordt. De handelingswijzer moet regelmatig met de kinderen geoefend worden zodat ze leren hoe ze met de wijzer om moeten gaan.

108 109

 

 

6.3.2 Vermenigvuldigen en delen.

De weg naar het vermenigvuldigen

Wanneer kinderen vanuit de beweging verschillende rijen hebben geoefend wil het nog niet zeggen dat ze de tafels van vermenigvuldigen beheersen of dat ze het principe van het vermenigvuldigen begrijpen. Een aantal fases moeten we met de kinderen bewust doorlopen:

• Het vormen van gelijke groepjes/ aantallen.
• De groepjes komen een aantal malen voor.
• Door herhaald optellen kan het totaal aantal geteld worden.
• Vermenigvuldigen leren kennen als verkort optellen.

Het ritmisch tellen biedt een goede gelegenheid om structuur aan te brengen in de getallenrij die vervolgens kan leiden tot herhaald optellen en het leren kennen van de tafelrijen. We schreven hier al over in paragraaf 5.3.4.

Voor het begrip van het vermenigvuldigen en delen kan men de kinderen de opdracht geven een hoeveelheid voorwerpen gelijk op te delen. Vervolgens is het belangrijk om te vragen hoe het kind dat gedaan heeft en het te leiden tot een keer en/of deelsom. 24 kastanjes verdeeld in 6 gelijke groepen. Wat het je gedaan?

Ik heb vierentwintig kastanjes verdeeld in zes groepjes en in elk groepje zitten er vier. 24= 6+6+6+6+6+6+6 24= 6 groepjes van 4 24=6x4

Modellen bieden een ondersteuning voor het begrip van het vermenigvuldigen en het delen. Ze ondersteunen het proces van het oplossen van het rekenprobleem en kunnen in het aanbod meegenomen worden.

Voorbeeld 1: Laat kinderen een aantal voorwerpen in een aantal rijen ordenen 12 kastanjes in 4 gelijke rijen naast elkaar leggen

4 keer 3 kastanjes maar ook drie keer vier. Op deze wijze maakt het kind kennis met het vierkantsmodel.  oorbeeld 2 Ook het strokenmodel kan in combinatie met de getallenlijn leiden tot begrip van het vermenigvuldigen. Een aantal stroken wordt onder de getallenlijn gelegd. Vermenigvuldigen is zo het herhaald optellen van groepen met een vast aantal. In dit geval vier. Afgemeten aan de getallenlijn geeft de lijn het totale aantal aan.

 

Voorbeeld 4 Ook is het mogelijk om uit te gaan van de bewerking van het optellen

1 x 6 = 6 2 x 6 = 6 + 6 3 x 6 = 6 + 6 + 6 4 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 5 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 6 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6

Het oefenen van het verdubbelen en halveren.

Vanuit het principe van het vermenigvuldigen ontstaan de tafels. Voor veel kinderen is het moeilijk deze te onthouden. Er zijn mogelijkheden om hen daarbij te ondersteunen.

Voorbeeld 1: vanuit het handig rekenen

1 x 3 = Dat weet ieder 2 x 3 = via 3 + 3 3 x 3 = Vanuit het lied

via 6 + 3 4 x 3 = verdubbeling van 2 x 3 5 x 3 = helft van 10 x 3

omkering 3 x 5 6 x 3 = 5 x 3 plus 3 7 x 3 = Dit is een oefensom 8 x 3 = Het dubbele van 4 x 3

omkering 3 x 8 9 x 3 = 10 x 3 min 3 10 x 3 = Ook dit is een weetje

Werken vanuit tafelnetwerken Zie rekenen in beweging

Voorbeeld 2 Het oefenen in tweetallen met flitskaarten. Een kind houdt het kaartje omhoog. De ander geeft het antwoord. Op de achterzijde van de kaart staat het antwoord zodat de vrager weet of het antwoord goed is.

Voorbeeld 3 Door tafelproducten om te draaien. 6 x 5 = (als totaal) 5 x 6

Voorbeeld 4 Allerlei oefeningen die op een uitdagende manier werken aan de wil om de rijen te beheersen. Het doen van snelheidsoefeningen. Hoeveel sommen heb je goed in de aangegeven tijd.

Het maken van tafelvierkanten en tafelsterren

Het leren en oefenen van de tafels Een aantal ideeën

een keerveld

 

Het delen

Aan het delen wordt hier extra aandacht besteed. Het is immers niet zo dat het delen vanzelf vanuit het vermenigvuldigen ontstaat.

We kunnen in de eerste en tweede klas twee vormen van delen onderscheiden. Deze kunnen we beiden uit laten voeren op concreet maar ook op mentaal niveau . Belangrijk is in deze de juiste vraagstelling; de leraar moet weten waar hij naar vraagt

• De verhoudingsdeling. Hier gaat het om het bepalen van het aantal groepen Ik heb negen kastanjes die verdeel ik in groepjes van 3

3 groepen Dat geeft een aantal van drie groepjes.

Dit kan ook via herhaald aftrekken: 9 min 3 min 3 min 3 Echter ook vanuit het vermenigvuldigen 1 x 3 = 3, 2 x 3= 6, 3 x 3= 9

• De verdelingsverdeling. 9 kastanjes worden verdeeld over drie kinderen. Hier gaat het om het bepalen van het aantal per groepje

-Ook hier zou wellicht kunnen gelden dat wanneer de kinderen het principe van het delen begrijpen dat het dan mogelijk wordt om de deeltafels te leren

Bewerkingen en spel:

De bewerkingen kunnen op vele manieren verbonden worden met spelen. Natuurlijk zijn er bestaande spelen die je in catalogi kunt vinden en die zeker goed te gebruiken zijn. Het is ook leuk voor kinderen om zelf een spel te bedenken; de leraar kan bijspringen en het spel aanpassen aan het niveau van de klas.

Hiervan enkele voorbeelden:

Halli Galli Een spel waarbij steeds weer twee kaartjes door twee spelers worden omgedraaid. Wanneer het aantal voorwerpen precies vijf is moet je op de bel slaan. De snelste krijgt de kaartjes.

Knikkers raden Twee kinderen hebben een knikkerzak en pakken er in gesloten vuist ongezien een paar knikkers uit De twee kinderen houden de vuisten tegen elkaar en raden hoeveel knikkers er in beide handen samen zit. Degene die het raadt mag de knikkers hebben. Natuurlijk kun je ook afspreken dat degene die het er dichtste bij zit de winnaar is.

Domino Niet de passende kant van een dominosteen komt tegen elkaar te liggen maar twee delen van de steen die samen bijvoorbeeld 8 vormen. Dus een 4 tegen een 4 of een 2 tegen een 6.

Het dobbelspel In hun rekenkist hebben de kinderen een blanke dobbelsteen liggen. Op deze dobbelsteen hebben de kinderen plakkertjes geplakt met +1,+2,+3,+4,+5,+6 en ze hebben natuurlijk gewone dobbelstenen. Een kind gooi twee dobbelstenen. Vervolgens wordt de ‘bewerkingssteen gegooid. En dan rekenen. Wie is het eerst bij de dertig?

Een voorbeeld van een rekenspel dat door de jaren heen uitgebouwd kan worden: Rekenspel in verschillende stappen. Er is een loper en een dobbelaar. De rest van het groepje kijkt toe en voorspelt.

Rekendobbelspel Het spel begint eenvoudig. Er ligt een getallenlijn tot 20 op de grond (zakjes, cijfers, open). De dobbelaar gooit de dobbelsteen en de loper mag het aantal ogen omzetten in stappen vooruit. Steeds zegt hij daarbij de som. Hij staat bijvoorbeeld op 5 en gooit 6. Hij loopt zes stappen verder naar 11 en zegt dan: ’5 erbij 6 is 11’(vooraf) of ‘11 is 5 erbij 6’ (achteraf) Dat gaat zo door tot hij de 20 is gepasseerd. Variatie: de loper begint op 20 en trekt de gegooide ogen af. (‘20 eraf 3 is 17’of ‘17 is 20 min 3’) Uitbouwen van het rekendobbelspel Het spel wordt gespeeld zoals hiervoor aangegeven met dat verschil, dat de kinderen precies op 20 of 0 moeten uitkomen. Het kind gooit de dobbelsteen en mag het aantal ogen omzetten in stappen vooruit of achteruit. Dat vraagt veel van kinderen omdat ze dan verschillende zaken tegelijkertijd in de gaten moeten houden. Ze moeten optellen, er een som van maken, inschatten of ze over de 20 gaan en weten hoeveel ze nog moeten gooien en daarbij ook nog aftrekken wanneer ze over de 20 gaan. bijvoorbeeld: Karel gooit 6 en hij staat op 17. Zou hij optellen dan komt hij over de 20 uit, dus Karel stapt 6 stappen terug en komt op 11 uit. Hij zegt: ‘17 min 6 is 11’. Een verdere uitbouw Hetzelfde spel wordt wederom gespeeld echter nu met een variatie. Aan beide zijden van de lijn gooit en loopt een kind. Er zijn in totaal dus vier spelers. Twee werpers en twee lopers. Het is nu de bedoeling dat er een wedstrijdje ontstaat: ‘Wie is het eerst op de 20?’

Zo is dit spel op allerlei manieren uit te breiden en te variëren naar moeilijkheid en/of mogelijkheden van kinderen