Rekenvoorwaarden
(Door Annemieke Zwart)

          Werken aan rekenvoorwaarden in de kleuterklas
1.1.1       getalkwaliteiten
1.1.2       Hoeveelheidsbegrippen
1.1.3       Maatbegrippen
1.1.4       Weegbegrippen
1.1.5       Oriëntatiebegrippen
1.1.6       Sorteer- en Classificatiebegrippen
1.1.7       seriatiebegrippen
1.1.8       Conservatie begrippen
1.1.9       Bewerkingsbegrippen
1.1.10     Vergelijkingsbegrippen
                Als kleuters tellen
2.1           Een Kwalitatief betekenis vol en context gebonden tellen
2.2           Object gebonden tellen
2.3           Synchroontellen
2.4           Resultatief tellen
2.5           Tellend rekenen     

Werken aan rekenvoorwaarden in de kleuterklas.

Heel spontaan en direct reageert de jonge kleuter op alle zintuiglijke indrukken, van reflecterend afstand nemen tot de wereld is daarbij nog geen sprake. Door de eigen fantasie gekleurd, kiest het kind daaruit wat past bij wat het wil uitdrukken in zijn spel. Dat het in deze fantasievolle nabootsing heel wat leerervaringen verwerkt spreekt voor zich. Daaronder vallen ook prenumerieke reken-wiskundige ervaringen, we vatten die hier samen in twaalf rekenvoorwaarden. Zulke indrukken verwerkt de kleuter dus nog ongereflecteerd en hanteert ze zonder zich al te laten inperken door realistische of gekwantificeerde voorstellingen.
Getallen zijn voor kinderen eerst geen getallen zonder meer, ze zijn verbonden met speciale gelegenheden, een verjaardag bijvoorbeeld. Of met een heel mooi verteld sprookje. Dan staat het getal voor iets belangrijks uit zo'n verhaal, zoals de 'zeven dwergen' in het sprookje van Sneeuwwitje. In getallen beleven   jonge kinderen eerst niet zozeer een aantal, maar veeleer een bijzondere kwaliteit, iets unieks, zo'n getal brengt dat tot uitdrukking. Aanvankelijk zijn getallen dus altijd benoemde grootheden die aan het benoemde een kwaliteit toekennen.

Getalkwaliteiten

Geleidelijk gaan getalkwaliteiten zo kleur geven aan ervaringen. Wie er in de kleutertijd oog voor heeft ondersteunt dit. Waar kinderen getallen bij hun activiteiten inzetten zullen ze die vaker verbinden met voorwerpen. Het halen van de bekertjes en bordjes voor de ochtendmaaltijd in de klas bijvoorbeeld, zo associëren ze impliciet hoeveelheden met aantallen. Nog voor ze daarbij bewust getallen hanteren, tellen, of een aantal precies vaststellen, ontstaat zo al notie van

Hoeveelheidsbegrippen

(meer, genoeg, teveel, etc) "Zijn er evenveel bordjes als bekertjes?" Zo'n vraag bereidt de bij het tellen van aantallen zo belangrijke één-één relatie voor, waarmee hoeveelheid ook als aantal is aan te duiden. De kleuterleidster begeleidt en ondersteunt zoiets wanneer ze, onder andere in vingerspelletjes, passende gebaren uitvoert en die een exact aantal keren herhaalt. Soms verbindt ze daar al de namen van getallen mee en bereidt zo het vingerrekenen voor.
"10 kraaltjes, of 1 appel wat is meer?" Kwantitatief heeft zo'n vraag op het niveau van getallen pas zin als hoeveelheid in relatie staat tot zijn eenheid, zijn maat. In het leven van alle dag hebben ook dingen hun maat. De plank uit de knutselhoek is bijvoorbeeld niet 'lang genoeg' om als brug te dienen tussen twee tafeltjes; bij het opruimen is de gevouwen lap nog 'te groot' om deze netjes op de plank te kunnen leggen; of het blijkt dat dit 'te veel' blokken zijn, ze passen niet allemaal in de kist.

Maatbegrippen

ervaren kinderen als ze dingen willen veranderen, dan is iets 'te dik', 'te hoog', nog niet 'vol', of past het 'precies' De kleuter gaat zulke begrippen hanteren als het met spullen iets doet. Geleidelijk kan daarbij gevoel ontstaan voor een eenheidsmaat zoals 1 kraal en 1 appel; en kunnen 10 kraaltjes ook 'meer zijn dan 1 appel, al is die laatste zwaarder en neemt hij meer ruimte in.
Aan zulke noties dragen vooral de

Weegbegrippen

bij. Kinderen vinden het leuk om dingen te wegen. Een wip op de speelplaats geeft gevoel voor het eigen gewicht in relatie tot dat van anderen. Een balans, met zijn vaste plek in het winkeltje van de poppenhoek, laat vergelijkenderwijs ervaren wat zwaar en wat licht is, maar ook beleven kinderen zo dat ‘meer’ en ‘zwaarder’ begrippen zijn die vooral dan bij elkaar horen als het om meer van hetzelfde, dus om meer' in eenheden' gaat.

"Zo is het genoeg!" sprak een meisje verontwaardigd toen een jongere kleuter maar door ging met zandscheppen in het ene bakje van de in de zandbak geplaatste weegschaal, 'je maakt het veel te zwaar".

ln het leven van de kleuter spelen de tijd en de ruimte ook een bijzondere rol. Waar de kleuterdag herhaalde rituelen kent ontwikkelen kleuters de hierbij passende

Oriëntatiebegrippen.

'Naast' juffie zitten bij het ochtendbegin, of juist 'tegenover' haar, misschien zelfs 'op' schoot tijdens het verhaal.

Lichaam:

Zulke begrippen vormen zich aanvankelijk vooral met het eigen lichaam als referentiepunt.

Ruimte

In een volgende fase worden ook objecten in de ruimte tot zulke referentiepunten. De drinkbekers 'op' de plank en de bordjes 'in' het kastje 'bij' de gootsteen; zo gebeurt het steeds weer als na het eten is afgewassen. Met zulke oriëntatiebegrippen leren kleuters hoe je jezelf en de dingen een positie geeft in de ruimte. De kleuterleidster die de dingen steeds hun vaste plek geeft, werkt zo impliciet aan het ontwikkelen van een basis voor zulke (meetkundige) begrippen.

Tijd:

Ook in de tijd leert het kind zich geleidelijk oriënteren: 'na' het vrije spel gaan we 'eerst' opruimen en 'dan' in de kring zitten. Zo gebeurt het (bijna) elke dag, de uitzondering maakt er een bewustzijnsmoment van. (Welke kinderen valt dat al op? Zoiets verwijst naar leerrijpheid) Hanteert de leidster een vast dag- en weekritme en heeft ze daarbij een consequent woordgebruik, dan werkt ze impliciet aan het ontwikkelen van gevoel voor tijd. Want kent de week een tijd lang een vaste opbouw en keren gebeurtenissen na verloop van tijd terug dan kan een kind daar naar uitzien. We schilderen bijvoorbeeld steeds op dezelfde dag in de week en de dag daarna, onze broodbakdag, bakken we altijd van die lekkere bolletjes in de oven.

 

 

Een wat oudere kleuter barstte ineens in snikken uit toen juffie zei dat het morgen feest was, want dan gaan we niet naar school en is het vakantie. Er naar gevraagd, antwoordde de kleuter: "Dan is er geen 'broodbakdag' meer". Zij herinnerde zich ineens dat zij aan de beurt was om juffie te helpen bij het deeg maken.

Aan zulke noties van tijd appelleert men in de kleuterklas met uitspraken als:
"’Voor' we buitenspelen gaan we altijd 'eerst' ...".De rijpere kleuter kan daar al 'in gedachten' betekenis aan geven.

Lateralisatie

Dat de begrippen 'links' en 'rechts' ook nog voor wat oudere kinderen problemen scheppen is bekend. Wie ze vroeg te zeer benadrukt schept soms verkeerde fixaties, en gerichte oefening kan dan zelfs tot faalangstigheid leiden. Het feit dat de eigen positie in de ruimte bepalend is voor de toeordening van deze begrippen aan voorwerpen verwart kinderen, zeker wanneer ze nog niet gelateraliseerd zijn. Het eigen lichaam biedt dan immers geen te hanteren referentiepunt. Zoiets kan zich vormen als kinderen een eigen lichaamsdominantie ontwikkelen, ze ervaren nu hun ene 'lichaamshelft' als sterker, handiger en beter functionerend dan de andere. Zo leren ze in een 'werkhand' rechts van links te onderscheiden.
Als de lateralisatie nog niet tot ontplooiing kwam zullen kinderen ook vaker problemen hebben met volgordebegrippen. In welke volgorde dingen plaats vinden is veelal een cultureel bepaalde gegevenheid. We lezen en schrijven bijvoorbeeld van links naar rechts, maar schrijven de getallen (van twee cijfers) in een aan hun uitspraak tegengestelde richting.

Volgordebegrippen

vormen zich vooreerst aan eigen gewoontes die er als referentiepunt dienen. ‘Na het opstaan eerst tandenpoetsen, dan ...' Het zijn de lichamelijk beleefde gewoontes en afspraken die een kind uit zijn omgeving overneemt, die aan de loop der dingen een richting geven of er een patroon aan toekennen. Een kind dat veel alleen is zal de behoefte om dingen in een juiste volgorde te plaatsen, of uit te voeren, minder ontwikkelen. Juist zulke gewoontes vormen zich op een natuurlijke wijze in een (kleuter)groep.
Zo ontwikkelt de kleuter in de kring-, ambacht- en seizoenspelen notie voor volgorde. Na het vrije spel, dus tijdens het opruimen, komt het sorteren tot zijn recht. Als alles in het lokaal zijn vaste plek heeft, oefent de kleuter nu deze vaardigheid: 'alle grote blokken in de hoek en de kleintjes in de kist; de poppenkleertjes in het blauwe huis, het poppenserviesje in het rode'. Sorteren komt natuurlijk ook in andere (kleuter)activiteiten tot zijn recht, bijvoorbeeld tijdens het tafeldekken, of bij het kraaltjes rijgen in een bepaald patroon, steeds weer rood, wit, blauw. Daarbij gaan ze soms aantallen tellen. Nog niet gelateraliseerde kinderen zullen die aantallen beter kunnen vaststellen als ze de kralen in een verticale rij en met twee handen, dus vanuit lichaamssymmetrie rijgen.

Sorteer- en Classificatiebegrippen

ontwikkelt de kleuter als deze activiteiten ook met taal begeleid worden.
Sorteren en classificeren, dus het logisch ordenen in groepen op basis van één of meer gemeenschappelijke kenmerken, liggen in elkaars verlengde. Het gaat hierbij vaak om een indeling met een bedoelde reden, kinderen ontwikkelen zo gevoel voor (zinvolle) regels en gewoonten. Classificeren kan ook een complexe aangelegenheid zijn wanneer het gebeurt naar meer dan één kenmerk (alle gele ballen bijvoorbeeld). In de wiskunde spreekt men dan van 'één-één relaties', en van 'deel-geheel verzamelingen', begrippen die expliciet voor de kleuter nog geen rol spelen, maar wel impliciet worden aangelegd. Classificeren vormt niet slechts een rekenvoorwaarde, het is een waardevolle denkvorm in al het onderwijs aan jonge kinderen. Zij maken zich zulke vaardigheden het beste eigen vanuit natuurlijke contexten, waarin zowel een aanleiding als een handelingsmogelijkheid besloten ligt (doe alle gele ballen in deze mand, dan gaan we er buiten mee spelen). Omdat men bij classificeren eenzelfde zaak soms onder verschillende aspecten (geel en bal) dient te bezien, wordt het door zijn complexiteit wel opgevat als een activiteit van oudere kleuters.
Dat geldt ook voor

Seriatiebegrippen.

Bij seriëren, gaat het om ordenen naar het meer of minder aanwezig zijn van één bepaalde eigenschap (onder afzien van andere eigenschappen). Van 'kleiner naar groter' (kastanjes), 'van dikker naar dunner' (boomstammetjes), 'van zwaarder naar lichter' (steentjes). Wie zulke ervaringen niet op kan doen zal er vaker moeite mee hebben te begrijpen dat 6 meer is dan 4 en 4 minder dan 6 maar meer dan 2. In het seriëren van groepjes naar aantallen worden optellen en aftrekken met meer dan één al voorbereid. Dat meer in aantal bij het ene automatisch ook minder bij het andere betekent, beleven kinderen er concreet. Zo ontwikkelen ze notie voor het 'relatieve' in begrippen als meer en minder, korter en langer, et cetera. Daarbij vormt zich ook een intuïtieve notie van transitiviteit; als het rode steentje zwaarder is dan het witte, is het ook zwaarder dan hét bruine waarvan al vastgesteld werd dat het lichter was dan het witte. Zulke ervaringen ontwikkelen gevoel voor logica, voor het feit dat 6 meer is dan 2 maar minder dan 8; en men in die 8 ook 6 en 2 samen kan zien. Het geheel verandert dus niet als dit gesplitst wordt in twee (verschillende) delen, het blijft geconserveerd.

Conservatie begrippen

zoals evenveel, net zo lang, hetzelfde, ze vormen langdurig bronnen voor misverstanden. Zo verandert voor veel kleuters de hoeveelheid van een rij appels als je deze dichter bij elkaar legt; en nemen kinderen liever een hoog glas als ze kunnen kiezen tussen een breed en een smal glas met limonade, zelfs als ze zagen dat beiden met dezelfde maatbeker zijn gevuld. Zulke constanties, waarbij men van een deel van de veranderde waarnemingsinhoud afziet ten gunste van één aspect (bij dit limonade glas dus de inhoud), vormen zich geleidelijk in de loop van jaren en op basis van vele concrete ervaringen; maar ze vragen ook om een zekere mentale rijping, waarbij relevante informatie gescheiden wordt van niet ter zake doende factoren. Dat, tijdens het aanvankelijk rekenen, hierbij nog vele problemen ontstaan spreekt voor zich.
Conservatie is ook een voorwaarde bij het globaal bepalen van hoeveelheden, 'Waar ligt meer, of is er evenveel?' Voor kinderen is hoeveelheid een verwarrend begrip dat lang gebonden blijft aan de context waarin het verschijnt, vooral wanneer ze het resultatief tellen nog niet beheersen. Bij matchen van twee hoeveelheden in één-één relaties, bij elk bord een beker, valt al eerder een denken over hoeveelheid als over aantal te ontwikkelen.

Bewerkingsbegrippen

vormen zich daarbij uit het in twee (gelijke) porties verdelen met twee handen, verdelen dus vanuit de eigen lichaamssymmetrie. Het kind gaat dan eerst uit van een geheel dat er is. 'Erbij krijgen' of 'kwijtraken', als 'oergebaren' voor optellen en aftrekken, leert het dan kennen in een uitwisseling tussen zichzelf en zijn omgeving. Zulke bewerkingen vragen van een kind al meer distantie.
Matchen is ook een ervaring die leidt tot een tellen per één. Worden twee hoeveelheden gematched en blijft er precies een over, zal een kind bij de vraag: "zijn het er evenveel?" spontaan antwoorden" hier is er eentje meer" Het per één tellend bepalen van een hoeveelheid, is zo in te leiden.
Geleidelijk gaan kinderen ook op mentaal niveau vergelijken. Dit vergelijken van begrippen kan soms een cognitief conflictje opleveren. Zo is de oudste kleuter meestal niet ook de langste, of blijkt het grootste snoepje niet ook het lekkerst te zijn. Tot de

Vergelijkingsbegrippen

horen dus ook de gepaarde tegenstellingen, ver/dichtbij, groot/klein, veel/weinig, ... In de (kleuter)euritmie worden zulke tegenstellingen tot (innerlijke) beleving; bij rekenen-wiskunde verschijnen ze als gehanteerde meetkundige en numerieke begrippen.
Een rijke taalomgeving draagt bij aan de denkstructuren waarover kinderen leren beschikken. In verband met rekenvoorwaarden zijn hier in het bijzonder de volgende talige begrippen te noemen: de telwoorden, het benoemen van (namaak) geld, maar eveneens de begrippen voor afstand en lengte, en voor tijd en tijdsduur, ook in combinatie met getallen. "Het is 12 uur, we gaan over 5 minuten opruimen! Ook daarbij kan een juist taalgebruik dus bijdragen aan de vorming van bij de realiteit aansluitende reken-wiskundige begrippen. Het is niet nodig het volwassen taalgebruik steeds aan te passen aan dat van de kinderen, een klas die samen een kring vormt is bijvoorbeeld ook toe te spreken met 'maak er een mooie cirkel van'. Zulke aan de wiskunde ontleende begrippen maakt het kind zich dan, ook al in de kleuterklas, eigen op basis van de concreet beleefde ervaringen.

Als kleuters tellen.

Voor kleuters die al spontaan tellen is de telrij vaak niet meer dan een versje. We noemen dat akoestisch tellen. Ook al wijzen ze daarbij dingen aan, dan gebeurt dat vaker nog asynchroon, de telwoorden worden gezegd, maar er is geen verband met het aantal aangewezen voorwerpen. Verschillende getallen voor dezelfde groep voorwerpen in één en dezelfde situatie zijn voor hen niet verbazingwekkend.
Er is vaak nog sprake van een

 Kwalitatief betekenis vol en context gebonden tellen.

Vraagt men bijvoorbeeld in de kleuterklas "Hoeveel kinderen zijn er vandaag niet?" geven ze de namen van de ontbrekende kinderen, ze tellen met de eigennamen en niet met telwoorden. Aan telwoorden hebben ze voor het tellen van aantallen nog geen behoefte. Het zijn de bekende gebeurtenissen, met een vast patroon waar telwoorden aan toegevoegd worden, die leiden het kwalitatieve tellen over naar een meer kwantitatief tellen. De in een gezin altijd gelijke stapel met eetborden; de klokslagen van de kerktoren die altijd klinken bij het opstaan om zeven uur; of de huisgenoten in de auto, zij bepalen wanneer het opzeggen van de telrij zal stoppen. Later gaan ze dit tellen betrekken op ordenen en vergelijken, in situaties waarbij het gaat om erbij of eraf, om meer of minder, om hoger of lager, om te veel dan wel te weinig, en ook bij evenveel. Er is steeds sprake van een tellen met een ervaringsgericht karakter en een aan de nabootsing ontleende oorsprong. Er worden zo nog geen aantallen bepaald, zoals dat in de fase van het resultatief tellen gebeurt.
In de fase van het

‘Object gebonden tellen'

gaan kleuters de getallen correct verbinden aan telbare voorstellingen. Ze kennen de eigen leeftijd als patroon op hun vingers, en kunnen die dan als aantal via die vingers aftellen. Zo ontwikkelt zich het synchroon tellen bij kleine overzichtelijke hoeveelheden, het ordenen op rij, op de tast, of met wegschuiven. Met

Synchroontellen

is bedoeld dat ze nu bij elk voorwerp dat ze aanwijzen of pakken ook één getal zeggen. Ze gaan nu ook bij het vaststellen van getalrelaties, zoals meer, evenveel, of minder, getallen noemen. Bijvoorbeeld noemen ze ook getallen als ze iets wegen op de hand, of zien in een fles en daarbij schatten. Aantallen tot 4 (5) vaststellen lukt vaak in één oogopslag. Het is verwant aan het 'subiet zien' van aantallen tot 3, een vermogen dat zuigelingen al bezitten, al kennen die daar geen getallen aan toe. Het getalgebied tot ten minste 10 verkennen ze vaker al tijdens de kleuterleeftijd, sommigen al

Resultatief tellen.

Dat wil zeggen dat ze weten dat het laatst uitgesproken telwoord ook het aantal getelde objecten weergeeft. Ook bepalen ze zo soms l erbij of eraf. Op het hoogste telniveau is er sprake van

Tellend rekenen.

'Nog 6 nachtjes slapen, oh nee, nog 2 erbij'; eerst steken ze een handvol vingers en nog 1 op, dan doen ze er 2 vingers bij, via opnieuw getelde vingers wordt zo 8 gevonden. Dit tellend rekenen ontwikkelt zich vaak op basis van vingerrekenen en daarmee in eerste instantie tot 10. Toch vormt, vanuit het rekenproces bezien, de 10 voor 'rekenen tot 20' een kunstmatige grens.
Bij mentaal rekenen zal het uiteindelijk gaan om rekenfeiten die tot +15 gekend en niet meer berekend willen worden. De 10-structuur zal pas bij 'formeel rekenen' met geschreven getallen zijn eigen betekenis krijgen. Dan worden ook alle getallen voorbij 20 benoemd, met de gebruikelijke symbolen geschreven, en berekend. Maar tot 20 zouden kinderen eigenlijk bij structurerend rekenen toe kunnen met getallen genoteerd of gedacht in een 5-structuur.
Wie zich realiseert dat tellend rekenen -gebruik makend van onder andere de vingers- een noodzakelijk voorstadium is van rekenen, handelt verstandig. Die zal het dus niet verbieden, maar kinderen leren het op den duur te vervangen door meer efficiënte werkwijzen. Liefst vóór het moment dat 'tellen per één' zich als 'rekenwijze' heeft vastgezet. Dat wil zeggen voordat de rekenbewerkingen intensief worden geoefend.
Het tellen met accenten en/of met sprongen vormt hierin de bij het ritmische bewegingselement aansluitende ondersteuning. Het leidt tot

Structurerend tellen
met sprongen. Er is ook het werken met getalbeelden en ritmisch reciteren van rekenfeiten in combinatie met vingerbeelden. Zulke activiteiten zijn meer op inprenting gericht en bereiden voor op het rekenen tot 20.